世界微分音系統研究

1. 導論

1.1 什麼是微分音？

微分音（Microtone）指的是小於西方十二平均律（12-TET）半音（100 音分/cents）的音程。在世界各地的傳統音樂中，許多文化發展出獨特的音階系統，其音程並不符合西方標準。

1.2 音分（Cents）系統

音分是測量音程的對數單位：

• 1 八度 = 1200 cents
• 1 半音（12-TET）= 100 cents
• 1 音分 = 1/100 半音

計算公式：

cents = 1200 × log₂(f₂/f₁)

1.3 研究目的

本研究旨在：

1. 系統性整理世界主要微分音系統
2. 分析各系統的音程結構
3. 確定哪些系統需要兩個八度的獨立設定
4. 為 VCV Rack Quantizer 模組提供實現依據

2. 西方調音系統

2.1 十二平均律 (12-TET / Equal Temperament)

現代西方標準調音，將八度等分為 12 個半音。

特點：所有調性等效，便於轉調，但犧牲了純律的和諧性。

需要兩個八度：否

2.2 純律 (Just Intonation)

基於簡單整數比的調音系統，產生最和諧的音程。

特點：和聲純淨，但不同調性間差異大。

需要兩個八度：否

2.3 畢達哥拉斯調音 (Pythagorean Tuning)

僅使用純五度（3:2）堆疊產生的調音。

特點：五度完美，但三度偏高（畢氏音差 Pythagorean comma = 23.46 cents）。

需要兩個八度：否

2.4 四分音 (Quarter Tone / 24-TET)

將八度等分為 24 個四分音。

特點：常用於 20 世紀現代音樂，也是阿拉伯音樂的近似系統。

需要兩個八度：否

3. 中東音階系統

3.1 阿拉伯 Maqam 系統

3.1.1 概述

Maqam（複數 Maqamat）是阿拉伯音樂的調式系統，使用 24-TET 作為近似。傳統上，24 個音符跨越兩個八度，從 Yakah（低 G）到 Ramal Tuti（高 G）。

3.1.2 主要 Maqam 及其音程

Maqam Rast（拉斯特）

音符：C  D  E½♭  F  G  A  B½♭  C
音程：0  200  350  500  700  900  1050  1200

E½♭ 和 B½♭ 表示降低約 50 cents 的音符。

Maqam Bayati（巴亞提）

音符：D  E½♭  F  G  A  B♭  C  D
音程：0  150  300  500  700  850  1000  1200

Maqam Hijaz（希賈茲）

音符：D  E♭  F#  G  A  B♭  C  D
音程：0  100  400  500  700  800  1000  1200

3.1.3 兩個八度的差異

在某些 Maqam 中，上八度的音程可能與下八度不同：

Maqam Sikah 示例：

• 下八度：E½♭ - F - G - A - B½♭ - C - D
• 上八度：可能使用不同的四分音位置

需要兩個八度：是（部分 Maqam）

3.2 土耳其 Makam 系統

3.2.1 概述

土耳其 Makam 系統使用 53-TET（53 等分律），將八度分為 53 個 comma（逗號）。

• 大二度 = 9 commas（約 204 cents）
• 小二度 = 4 commas（約 90 cents）
• 1 comma ≈ 22.6 cents

3.2.2 浮動音符概念

土耳其音樂的關鍵特徵是「浮動音符」（floating notes）：

• 上行時：某些音符會稍微升高（約 1 comma）
• 下行時：相同音符會稍微降低

Makam Rast 示例：

上行：G - A - B(+1) - C - D - E - F#(Irak) - G
下行：G - F(Acem) - E - D - C - B(-1) - A - G

注意：上行使用 F#（Irak），下行使用 F（Acem）。

3.2.3 Seyir（旋律方向）

Makam 有三種旋律方向：

1. Cinici（上行型）：從主音開始向上
2. Inici（下行型）：從高音開始向下
3. Inici-Cinici（混合型）：結合兩者

需要兩個八度：是（上行/下行差異）

3.3 波斯 Dastgah 系統

3.3.1 概述

波斯音樂使用 Dastgah（調式系統），包含 7 個主要 Dastgah 和 5 個輔助 Avaz。

3.3.2 音程特徵

波斯音樂的特徵音程包括：

• Koron（↓）：降低約 50-60 cents
• Sori（↑）：升高約 50-60 cents

Dastgah Shur 示例：

G - A(koron) - B♭ - C - D - E♭ - F - G
音程：0 - ~150 - 300 - 500 - 700 - 800 - 1000 - 1200

3.3.3 上行/下行差異

類似土耳其系統，波斯音樂也有上行/下行的微妙差異。

需要兩個八度：是

4. 南亞音階系統

4.1 印度 Raga 系統

4.1.1 概述

印度古典音樂使用 Raga（旋律模式）和 22 Shruti（微分音）系統。

4.1.2 七個基本音符（Swaras）

4.1.3 Shruti 系統

傳統上八度分為 22 個 Shruti（不等分）：

4.1.4 Aroha 與 Avaroha

印度 Raga 最重要的特徵是 Aroha（上行）和 Avaroha（下行）可以使用完全不同的音符。

Raga Yaman 示例：

Aroha（上行）：N S G M# D N S'
Avaroha（下行）：S' N D P M# G R S

注意：上行省略 Re(R) 和 Pa(P)，下行使用所有音符。

Raga Bhairav 示例：

Aroha：S r G M P d N S'
Avaroha：S' N d P M G r S

使用 Komal Re(r) 和 Komal Dha(d)。

4.1.5 三個八度

印度音樂跨越三個八度：

• Mandra Saptak（低八度）
• Madhya Saptak（中八度）
• Tar Saptak（高八度）

需要兩個八度：是（Aroha/Avaroha 差異 + 不同八度可能有微妙差異）

5. 東亞音階系統

5.1 日本音階系統

5.1.1 上原六四郎的理論（1895）

明治時代，上原六四郎在《俗樂旋律考》中提出：

1. 俗樂的音階是五音音階
2. 分為含半音的陰旋和不含半音的陽旋
3. 兩者都有上行形和下行形

5.1.2 主要音階類型與上行/下行差異

都節音階（Miyako-bushi）- 陰旋法

具有下行性格，上行時音符會改變：

下行形（基本）：E - F - A - B - C - E
上行形（異向形）：E - F - A - B - D - E
                              ↑
                     短6度(C)→短7度(D)

律音階（Ritsu）

同樣具有下行性格：

下行形：6度音使用 A♭
上行形：6度音上升為 B♭

陽音階（Yo Scale）

音符：D - E - G - A - B
音程：0 - 200 - 500 - 700 - 900

用於雅樂（Gagaku）。具有上行性格，較為穩定。

民謠音階（Min'yo）

具有上行性格，中間音浮動較少，上行/下行差異不大。

5.1.3 小泉文夫的理論

小泉文夫將日本音階分為：

• 下行性音階：都節、律（上行時音會變化）
• 上行性音階：民謠、琉球（較穩定）

核心概念是テトラコルド（四度音列），完全四度內的中間音會根據旋律方向浮動。

5.1.4 微分音特徵

箏（Koto）調音傾向使用純律：

• 大三度：386 cents（純律）vs 400 cents（12-TET）
• 差異約 14 cents

需要兩個八度：是（都節/律音階有上行/下行差異）

5.2 琉球音階（Ryukyu Scale）

5.2.1 結構

五聲版：C - E - F - G - B
音程：0 - 400 - 500 - 700 - 1100
結構：大三度 - 小二度 - 大二度 - 大三度 - 小二度

六聲版：C - D - E - F - G - B
音程：0 - 200 - 400 - 500 - 700 - 1100

5.2.2 上行/下行差異

根據研究，琉球音階在下行時會加入經過音「レ」（D）：

上行：C - E - F - G - B - C（五聲）
下行：C - B - G - F - E - D - C（加入 D 作為經過音）

「てぃんさぐぬ花」等樂曲中，「レ」多用於下行時使旋律更滑順。

5.2.3 特徵

• 特徵音程：B→C（小二度）是識別沖繩音樂的關鍵
• 與陽音階相關，但音高升高
• 八重山民謠有微妙的音高變化
• 屬於小泉理論中的「上行性音階」

需要兩個八度：是（下行時加入經過音）

5.3 中國音階系統

5.3.1 五聲音階（宮商角徵羽）

宮：C - D - E - G - A
音程：0 - 200 - 400 - 700 - 900

5.3.2 微分音

中國傳統音樂主要使用純律，特別是古琴音樂中有複雜的泛音系統。

需要兩個八度：否

6. 東南亞音階系統

6.1 印尼甘美朗（Gamelan）

6.1.1 Slendro 音階

五聲音階，音程接近等分（約 240 cents 每級）：

近似音程：0 - 240 - 480 - 720 - 960

但實際上每組甘美朗樂器都有獨特的調音，沒有標準化。

6.1.2 Pelog 音階

七聲音階，音程不均：

一種常見形式：0 - 120 - 270 - 540 - 670 - 800 - 1050

特徵是包含非常窄和非常寬的音程混合。

6.1.3 微分音特徵

• 每組甘美朗有獨特調音
• Ombak（顫音）：成對樂器故意調成微小差異產生顫動效果
• 與西方 12-TET 差異可達 ±50 cents

需要兩個八度：否（但高度個別化）

6.2 泰國音階

6.2.1 七平均律

泰國傳統音樂使用 7-TET（七等分律）：

音程：0 - 171 - 343 - 514 - 686 - 857 - 1029
每級約 171 cents

需要兩個八度：否

7. 技術實現分析

7.1 需要兩個八度的系統總結

7.2 實現方案比較

方案 A：24 個微分音參數（兩個八度）

enum MicrotuneParam {
    // 第一個八度
    C1_MICROTUNE, CS1_MICROTUNE, D1_MICROTUNE, ..., B1_MICROTUNE,
    // 第二個八度
    C2_MICROTUNE, CS2_MICROTUNE, D2_MICROTUNE, ..., B2_MICROTUNE,
};

優點：

• 完全支援所有系統
• 上下八度獨立控制

缺點：

• 需要 24 個旋鈕（UI 空間問題）
• 對於不需要兩個八度的系統是多餘的

方案 B：12 + 12（上行/下行分開）

struct MicrotunePreset {
    float ascending[12];   // 上行微分音
    float descending[12];  // 下行微分音
};

優點：

• 精確對應中東/印度系統的需求
• 可以根據音高移動方向自動切換

缺點：

• 需要追蹤音高移動方向
• 實現較複雜

方案 C：混合方案（推薦）

struct MicrotuneSystem {
    float base[12];        // 基本微分音（一個八度）
    float octave2[12];     // 第二個八度（可選）
    bool useTwoOctaves;    // 是否啟用兩個八度
    bool useAscDesc;       // 是否區分上行/下行
    float ascending[12];   // 上行修正（可選）
    float descending[12];  // 下行修正（可選）
};

優點：

• 靈活支援所有系統
• 向後兼容現有的 12 音符系統
• 可根據預設自動配置

7.3 預設值建議

中東系統預設（需要兩個八度/上下行）

Turkish Makam Rast：

// 上行
float rast_asc[12] = {0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8};
// 下行（F# → F）
float rast_desc[12] = {0, 0, 0, 0, 8, 0, -100, 0, 0, 0, 0, 8};

Arabic Maqam Bayati：

float bayati[12] = {0, 0, -50, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -50, 0, 0};

印度系統預設

22 Shruti 近似：

float shruti[12] = {0, -10, 14, -16, 14, 2, -10, -2, -14, 16, -18, 12};

7.4 音高方向追蹤算法

class PitchDirectionTracker {
    float lastPitch = 0.f;
    bool ascending = true;

    void update(float currentPitch) {
        if (currentPitch > lastPitch + threshold) {
            ascending = true;
        } else if (currentPitch < lastPitch - threshold) {
            ascending = false;
        }
        lastPitch = currentPitch;
    }

    float getMicrotune(int note, const MicrotuneSystem& sys) {
        if (sys.useAscDesc) {
            return ascending ? sys.ascending[note] : sys.descending[note];
        }
        return sys.base[note];
    }
};

8. 結論與建議

8.1 主要發現

1. 中東和南亞系統需要兩個八度或上行/下行區分
2. 東亞系統（日本、中國、琉球）不需要兩個八度
3. 實現複雜度：混合方案可以同時滿足簡單和複雜需求

8.2 建議實現步驟

1. Phase 1：保持現有 12 個微分音參數
2. Phase 2：新增「Two-Octave Mode」開關和第二組 12 個參數
3. Phase 3：新增「Ascending/Descending」模式和音高方向追蹤
4. Phase 4：實現完整的預設庫

8.3 預設庫建議

優先實現：

1. Equal Temperament（12-TET）
2. Just Intonation
3. Pythagorean
4. Arabic Maqam Rast
5. Arabic Maqam Bayati
6. Turkish Makam Rast（含上下行）
7. Indian Shruti（22 音近似）
8. Gamelan Slendro
9. Gamelan Pelog
10. Japanese In/Yo
11. Ryukyu
12. Quarter Tone

9. 參考資料

附錄 A：完整微分音數據表

A.1 Just Intonation（純律）

A.2 Pythagorean（畢達哥拉斯）

A.3 22 Shruti（印度）

附錄 B：預設實現代碼參考

// Microtuning preset data structure
struct MicrotunePreset {
    const char* name;
    float cents[12];
    bool needsTwoOctaves;
    float cents_octave2[12];  // 第二個八度（如需要）
};

// 預設定義
const MicrotunePreset PRESETS[] = {
    {"Equal Temperament", {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, false, {}},
    {"Just Intonation", {0,11.7,3.9,15.6,-13.7,-2.0,-9.8,2.0,13.7,-15.6,17.6,-11.7}, false, {}},
    {"Pythagorean", {0,13.7,3.9,-5.9,7.8,-2.0,11.7,2.0,15.6,5.9,-3.9,9.8}, false, {}},
    {"Arabic Bayati", {0,0,-50,0,0,0,0,0,0,-50,0,0}, false, {}},
    {"Turkish Rast", {0,0,0,0,8,0,0,0,0,0,0,8}, false, {}},
    // ... 更多預設
};

文件結束

本研究為 MADZINE VCV Rack Quantizer 模組開發的基礎資料。